Пример вступительного испытания по математике

№1. Решите уравнение

№2. Решите систему уравнений

№3. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (1; 3), касающейся графика функции и пересекающей в двух различных точках график функции .

№4. Хорда окружности, удалённая от центра на расстояние 15, разбивает окружность на два сегмента, в каждый из которых вписан квадрат. Найдите разность сторон этих квадратов.

№5. Решите неравенство

№6. В две бочки были налиты растворы соли, причём в первую бочку было налито 16 кг, а во вторую – 25 кг. Оба раствора разбавили водой так, что процентное содержание соли уменьшилось в k раз в первом бочке и в m раз во второй. О числах k и m известно, что km = k+m+3. Найдите наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе.

№7. Вершина прямого угла C прямоугольного треугольника ABC расположена на диаметре окружности, параллельном хорде AB. Найдите площадь треугольника ABC, если , а радиус окружности равен 10.

№8. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых неравенство

выполняется для всех значений x.