ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В БАКАЛАВРИАТ И СПЕЦИАЛИТЕТ

Процедура проведения вступительного испытания

1. Вступительное испытание проводится в соответствии с действующими Правилами приема в бакалавриат и специалитет и Положением о порядке проведения вступительных испытаний МФТИ.

2. Вступительное испытание по математике проводится с совмещением письменной и устной форм.

3. Вступительное испытание состоит из четырёх частей.

4. Первые три части вступительного испытания (длительностью 60 минут каждая) – письменный экзамен.

5. Первая часть содержит задания с кратким ответом и допускает возможность автоматической проверки. По результатам первой части проводится допуск к последующим частям вступительного испытания. Для участников, не допущенных к последующим частям, баллы за экзамен выставляются по результатам первой части экзамена.

6. Вторая и третья части содержат задания с развёрнутым ответом, которые проверяются преподавателями, принимающими экзамен (экзаменаторами). 

7. Четвёртая часть вступительного испытания – устная беседа, в которой в том числе могут быть обсуждены задания первых трёх частей экзамена. Длительность устной части экзамена составляет до 30 минут.

Программа вступительного испытания

1. Натуральные числа. Делимость. Простые и составные числа. Признаки делимости. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

2. Целые, рациональные, действительные числа и операции с ними.

3. Преобразование арифметических и алгебраических выражений. Формулы сокращённого умножения.

4. Числовые неравенства и их свойства.

5. Функция. Область определения и множество значений. График функции. Чётность, нечётность, периодичность функций. Линейная, квадратичная, степенная, дробно-рациональная функции и их свойства.

6. Линейные уравнения. Квадратные уравнения. Рациональные уравнения. Уравнения с модулем. Уравнения высших степеней. Разложение многочленов на множители.

7. Линейные неравенства. Квадратные неравенства. Рациональные неравенства. Неравенства с модулем.

8. Корень из числа и его свойства. Арифметический корень. Иррациональные уравнения. Иррациональные неравенства.

9. Арифметическая и геометрическая прогрессии и их свойства.

10. Комбинаторика. Правила суммы и произведения. Перестановки, размещения, сочетания.

11. Задачи на составление уравнений (задачи на движение, на проценты, на совместную работу, на смеси и пр.).

12. Тригонометрические формулы. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции и их свойства. Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и неравенства.

13. Свойства степеней. Логарифмы и их свойства. Показательная и логарифмическая функции и их свойства. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

14. Производная. Исследование функций с помощью производных.

15. Задачи с параметром.

16. Системы уравнений и неравенств.

17. Множества точек на координатной плоскости.

18. Планиметрия:

- смежные и вертикальные углы,

- признаки и свойства равнобедренного треугольника, признаки равенства треугольников,

- теоремы о параллельных прямых, сумма углов треугольника, сумма углов выпуклого многоугольника,

- геометрические места точек (множество внутренних точек угла, равноудалённых от его сторон, множество точек, равноудалённых от концов отрезка),

- медианы, биссектрисы, высоты треугольника и их свойства,

- подобие треугольников, теорема Фалеса, теорема о пропорциональных отрезках,

- четырёхугольники; параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и их свойства,

- пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике, теорема Пифагора,

- площадь и её свойства,

- формулы площади треугольника, параллелограмма, трапеции,

- точки пересечения высот, медиан, биссектрис, серединных перпендикуляров треугольника,

- теоремы синусов, косинусов и Менелая для треугольника,

- окружность и её свойства,

- касательная к окружности и её свойства,

- теоремы о пропорциональных отрезках в окружности,

- теоремы об углах, связанных с окружностью (вписанный угол, центральный угол, угол между касательной и хордой),

- окружность, описанная около треугольника; окружность, вписанная в треугольник,

- окружность, описанная около четырёхугольника; окружность, вписанная в четырёхугольник,

- правильные многоугольники и их свойства,

- длина окружности, площадь круга и его частей,

- векторы, скалярное произведение векторов,

- метод координат на плоскости.

19. Стереометрия. Параллельность прямых и плоскостей, перпендикулярность прямых и плоскостей. Объём фигуры; площадь поверхности фигуры. Куб, параллелепипед, призма, пирамида, шар, цилиндр, конус и их свойства. Векторы и координаты в пространстве. Сечения многогранников. Углы и расстояния в пространстве.

Литература

1. Шабунин М.И. Математика. Пособие для поступающих в вузы. М.: – 2016.

2. Гордин Р.К. ЕГЭ 2020. Математика. Геометрия. Планиметрия. Задача 16 (профильный уровень), М.: – 2020.